Логарифмические квадратные неравенства примеры решения. Логарифмические неравенства. Основное логарифмическое тождество

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА В ЕГЭ

Сечин Михаил Александрович

Малая академия наук учащейся молодежи РК «Искатель»

МБОУ « Советская СШ №1», 11 класс, пгт. Советский Советского района

Гунько Людмила Дмитриевна, учитель МБОУ « Советская СШ №1»

Советского района

Цель работы: исследование механизма решения логарифмических неравенств С3 при помощи нестандартных методов, выявление интересных фактов логарифма.

Предмет исследования:

3)Научиться решать конкретные логарифмические неравенства С3 с помощью нестандартных методов.

Результаты:

Содержание

Введение………………………………………………………………………….4

Глава 1. История вопроса……………………………………………………...5

Глава 2. Сборник логарифмических неравенств ………………………… 7

2.1. Равносильные переходы и обобщенный метод интервалов…………… 7

2.2. Метод рационализации ………………………………………………… 15

2.3. Нестандартная подстановка………………............................................... 22

2.4. Задания с ловушками…………………………………………………… 27

Заключение…………………………………………………………………… 30

Литература……………………………………………………………………. 31

Введение

Я учусь в 11 классе и планирую поступить в ВУЗ, где профильным предметом является математика. А поэтому много работаю с задачами части С. В задании С3 нужно решить нестандартное неравенство или систему неравенств, как правило, связанное с логарифмами. При подготовке к экзамену я столкнулся с проблемой дефицита методов и приёмов решения экзаменационных логарифмических неравенств, предлагаемых в С3. Методы, которые изучаются в школьной программе по этой теме, не дают базу для решения заданий С3. Учитель по математике предложила мне поработать с заданиями С3 самостоятельно под её руководством. Кроме этого, меня заинтересовал вопрос: а в жизни нашей встречаются логарифмы?

С учетом этого и была выбрана тема:

«Логарифмические неравенства в ЕГЭ»

Цель работы: исследование механизма решения задач С3 при помощи нестандартных методов, выявление интересных фактов логарифма.

Предмет исследования:

1)Найти необходимые сведения о нестандартных методах решения логарифмических неравенств.

2)Найти дополнительные сведения о логарифмах.

3)Научиться решать конкретные задачи С3 с помощью нестандартных методов.

Результаты:

Практическая значимость заключается в расширении аппарата для решения задач С3. Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике.

Проектным продуктом станет сборник «Логарифмические неравенства С3 с решениями».

Глава 1. История вопроса

На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближённых вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономии грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчётах. Трудности возникали и в других областях, например, в страховом деле нужны были таблицы сложных процентов для различных значений процента. Главную трудность представляли умножение, деление многозначных чисел, особенно тригонометрических величин.

Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу 16 века свойства прогрессий. О связи между членами геометрической прогрессии q, q2, q3, ... и арифметической прогрессией их показателей 1, 2, 3,... говорил еще в "Псалмите" Архимед. Другой предпосылкой было распространение понятия степени на отрицательные и дробные показатели. Многие авторы указывали, что умножению, делению, возведению в степень и извлечению корня в геометрической прогрессии соответствуют в арифметической - в том же порядке - сложение, вычитание, умножение и деление.

Здесь скрывалась идея логарифма как показателя степени.

В истории развития учения о логарифмах прошло несколько этапов.

1 этап

Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное. Термин "логарифм" (logarithmus) принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos - "отношение" и ariqmo - "число", которое означало "число отношений". Первоначально Непер пользовался другим термином: numeri artificiales- "искусственные числа", в противоположность numeri naturalts -"числам естественным".

В 1615 году в беседе с профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561-1631) Непер предложил принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - 100, или, что сводится к тому же, просто 1. Так появились десятичные логарифмы и были напечатаны первые логарифмические таблицы. Позже таблицы Бригса дополнил голландский книготорговец и любитель математики Андриан Флакк (1600-1667). Непер и Бригс, хотя пришли к логарифмам раньше всех, опубликовали свои таблицы позже других - в 1620 году. Знаки log и Log были введены в 1624 году И. Кеплером. Термин "натуральный логарифм" ввели Менголи в 1659 г. и вслед за ним Н. Меркатор в 1668 г., а издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 под названием "Новые логарифмы" лондонский учитель Джон Спейдел.

На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877).

2 этап

Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. К тому времени относится установление связи между квадратурой равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом. Теория логарифмов этого периода связана с именами целого ряда математиков.

Немецкий математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в сочинении

"Логарифмотехника" (1668) приводит ряд, дающий разложение ln(x+1) по

степеням х:

Это выражение в точности соответствует ходу его мысли, хотя он, конечно, пользовался не знаками d, ... , а более громоздкой символикой. С открытием логарифмического ряда изменилась техника вычисления логарифмов: они стали определяться с помощью бесконечных рядов. В своих лекциях "Элементарная математика с высшей точки зрения", прочитанных в 1907-1908 годах, Ф. Клейн предложил использовать формулу в качестве исходного пункта построения теории логарифмов.

3 этап

Определение логарифмической функции как функции обратной

показательной, логарифма как показателя степени данного основания

было сформулировано не сразу. Сочинение Леонарда Эйлера (1707-1783)

"Введение в анализ бесконечно малых" (1748 г.) послужило дальнейшему

развитию теории логарифмической функции. Таким образом,

прошло 134 года с тех пор, как логарифмы впервые были введены

(считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению

понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.

Глава 2. Сборник логарифмических неравенств

2.1. Равносильные переходы и обобщенный метод интервалов.

Равносильные переходы

, если а > 1

, если 0 < а < 1

Обобщённый метод интервалов

Данный способ наиболее универсален при решении неравенств практически любого типа. Схема решения выглядит следующим образом:

1. Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция
, а в правой 0.

2. Найти область определения функции
.

3. Найти нули функции
, то есть – решить уравнение
(а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство).

4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.

5. Определить знаки функции
на полученных интервалах.

6. Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения, и записать ответ.

Пример 1.

Решение:

Применим метод интервалов

откуда

При этих значениях все выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны.

Ответ:

Пример 2.

Решение:

1-й способ . ОДЗ определяется неравенством x > 3. Логарифмируя при таких x по основанию 10, получаем

Последнее неравенство можно было бы решать, применяя правила разложения, т.е. сравнивая с нулём сомножители. Однако в данном случае легко определить интервалы знакопостоянства функции

поэтому можно применить метод интервалов.

Функция f (x ) = 2x (x - 3,5)lgǀ x - 3ǀ непрерывна при x > 3 и обращается в ноль в точках x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Таким образом, определяем интервалы знакопостоянства функции f (x ):

Ответ:

2-й способ . Применим непосредственно к исходному неравенству идеи метода интервалов.

Для этого напомним, что выражения a b - a c и (a - 1)(b - 1) имеют один знак. Тогда наше неравенство при x > 3 равносильно неравенству

или

Поcледнее неравенство решается методом интервалов

Ответ:

Пример 3.

Решение:

Применим метод интервалов

Ответ:

Пример 4.

Решение:

Так как 2x 2 - 3x + 3 > 0 при всех действительных x , то

Для решения второго неравенства воспользуемся методом интервалов

В первом неравенстве сделаем замену

тогда приходим к неравенству 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y , которые удовлетворяют неравенству -0,5 < y < 1.

Откуда, так как

получаем неравенство

которое выполняется при тех x , для которых 2x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Теперь с учетом решения второго неравенства системы окончательно получаем

Ответ:

Пример 5.

Решение:

Неравенство равносильно совокупности систем

или

Применим метод интервалов или

Ответ :

Пример 6.

Решение:

Неравенство равносильно системе

Пусть

тогда y > 0,

и первое неравенство

системы принимает вид

или, раскладывая

квадратный трехчлен на множители,

Применяя к последнему неравенству метод интервалов,

видим, что его решениями, удовлетворяющими условию y > 0 будут все y > 4.

Таким образом исходное неравенство эквивалентно системе:

Итак, решениями неравенства являются все

2.2. Метод рационализации.

Раньше методом рационализации неравенства не решали, его не знали. Это "новый современный эффективный метод решения показательных и логарифмических неравенств" (цитата из книжки Колесниковой С.И.)
И даже, если педагог его знал, была опаска - а знает ли его эксперт ЕГЭ, а почему в школе его не дают? Были ситуации, когда учитель говорил ученику: "Где взял? Садись - 2."
Сейчас метод повсеместно продвигается. И для экспертов есть методические указания, связанные с этим методом, и в "Самых полных изданиях типовых вариантов..." в решении С3 используется этот метод.
МЕТОД ЧУДЕСНЫЙ!

«Волшебная таблица»


В других источниках

если a >1 и b >1, то log a b >0 и (a -1)(b -1)>0;

если a >1 и 0

если 0<a <1 и b >1, то log a b <0 и (a -1)(b -1)<0;

если 0<a <1 и 00 и (a -1)(b -1)>0.

Проведенные рассуждения несложные, но заметно упрощающие решение логарифмических неравенств.

Пример 4.

log x (x 2 -3)<0

Решение:

Пример 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Решение:

Ответ . (0; 0,5)U .

Пример 6.

Для решения этого неравенства вместо знаменателя запишем (х-1-1)(х-1), а вместо числителя - произведение (х-1)(х-3-9+х).


Ответ: (3;6)

Пример 7.

Пример 8.

2.3. Нестандартная подстановка.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

log 4 (3 x -1)log 0,25

Сделаем замену у=3 х -1; тогда данное неравенство примет вид

Log 4 log 0,25
.

Так как log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , то перепишем последнее неравенство в виде 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Сделаем замену t =log 4 y и получим неравенство t 2 -2t +≥0, решением которого являются промежутки -.

Таким образом, для нахождения значений у имеем совокупность двух простейших неравенств
Решение этой совокупности есть промежутки 0<у≤2 и 8≤у<+.

Следовательно, исходное неравенство равносильно совокупности двух показательных неравенств,
то есть совокупности

Решением первого неравенства этой совокупности является промежуток 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Таким образом, исходное неравенство выполняется для всех значений х из промежутков 0<х≤1 и 2≤х<+.

Пример 8.

Решение:

Неравенство равносильно системе

Решением второго неравенства, определяющего ОДЗ, будет множество тех x ,

для которых x > 0.

Для решения первого неравенства сделаем замену

Тогда получаем неравенство

или

Множество решений последнего неравенства находится методом

интервалов: -1 < t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x , получаем

или

Множество тех x , которые удовлетворяют последнему неравенству

принадлежит ОДЗ (x > 0), следовательно, является решением системы,

а значит, и исходного неравенства.

Ответ:

2.4. Задания с ловушками.

Пример 1.

.

Решение. ОДЗ неравенства есть все х, удовлетворяющие условию 0. Следовательно, все х из промежутка 0

Пример 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1. . ? Дело в том, что второе число с очевидностью больше чем

Заключение

Было не просто найти из большого обилия разных учебных источников особые методы решения задач С3. В ходе проделанной работы мне удалось изучить нестандартные методы решения сложных логарифмических неравенств. Это: равносильные переходы и обобщённый метод интервалов, метод рационализации, нестандартная подстановка, задания с ловушками на ОДЗ. В школьной программе эти методы отсутствуют.

Разными методами я решил 27 неравенств, предлагаемых на ЕГЭ в части С, а именно С3. Эти неравенства с решениями по методам легли в основу сборника «Логарифмические неравенства С3 с решениями», который стал проектным продуктом моей деятельности. Гипотеза, поставленная мною вначале проекта, подтвердилась: задачи С3 можно эффективно решать, зная эти методы.

Кроме этого, я выявил интересные факты логарифмов. Мне это было интересно делать. Мои проектные продукты будут полезны как для учащихся, так и для учителей.

Выводы:

Таким образом, поставленная цель проекта достигнута, проблема решена. А я получил наиболее полный и разносторонний опыт проектной деятельности на всех этапах работы. В ходе работы над проектом у меня основное развивающее воздействие было оказано на мыслительную компетентность, деятельность, связанную с логическими мыслительными операциями, развитие творческой компетентности, личной инициативы, ответственности, настойчивости, активности.

Гарантией успеха при создании исследовательского проекта для меня стали: значительный школьный опыт, умение добывать информацию из различных источников, проверять ее достоверность, ранжировать ее по значимости.

Кроме непосредственно предметных знаний по математике, расширил свои практические навыки в области информатики, получил новые знания и опыт в области психологии, наладил контакты с одноклассниками, научился сотрудничать с взрослыми людьми. В ходе проектной деятельности развивались организационные, интеллектуальные и коммуникативные общеучебные умения и навыки.

Литература

1. Корянов А. Г. ,Прокофьев А. А. Системы неравенств с одной переменной (типовые задания С3).

2. Малкова А. Г. Подготовка к ЕГЭ по математике.

3. Самарова С. С. Решение логарифмических неравенств.

4. Математика. Сборник тренировочных работ под редакцией А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. -М.: МЦНМО, 2009. - 72 с.-

С ними находятся внутри логарифмов.

Примеры:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ {(x^2-3)}< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_{x+1}⁡{(x^2+3x-7)}>2\)
\(\lg^2⁡{(x+1)}+10≤11 \lg⁡{(x+1)}\)

Как решать логарифмические неравенства:

Любое логарифмическое неравенство нужно стремиться привести к виду \(\log_a⁡{f(x)} ˅ \log_a{⁡g(x)}\) (символ \(˅\) означает любой из ). Такой вид позволяет избавиться от логарифмов и их оснований, сделав переход к неравенству выражений под логарифмами, то есть к виду \(f(x) ˅ g(x)\).

Но при выполнении этого перехода есть одна очень важная тонкость:
\(-\) если - число и оно больше 1 - знак неравенства при переходе остается прежним,
\(-\) если основание - число большее 0, но меньшее 1 (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.

Примеры:

\(\log_2⁡{(8-x)}<1\)
ОДЗ: \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\(x<8\)

Решение:
\(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\)
\(8-x\)\(<\) \(2\)
\(8-2 \(x>6\)
Ответ: \((6;8)\)

\(\log\)\(_{0,5⁡}\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_{0,5}\) ⁡\({(x+1)}\)
ОДЗ: \(\begin{cases}2x-4>0\\x+1 > 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}2x>4\\x > -1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x>2\\x > -1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\)

Решение:
\(2x-4\)\(≤\) \(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
Ответ: \((2;5]\)

Очень важно! В любом неравенстве переход от вида \(\log_a{⁡f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}\) к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:


Пример . Решить неравенство: \(\log\)\(≤-1\)

Решение:

\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\) \(≤-1\)

Выпишем ОДЗ.

ОДЗ: \(\frac{3x-2}{2x-3}\) \(>0\)

\(⁡\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}\) \(≥\) \(0\)

Раскрываем скобки, приводим .

\(⁡\frac{-3x+7}{2x-3}\) \(≥\) \(0\)

Умножаем неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.

\(⁡\frac{3x-7}{2x-3}\) \(≤\) \(0\)

\(⁡\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\) \(≤\) \(0\)

Построим числовую ось и отметим на ней точки \(\frac{7}{3}\) и \(\frac{3}{2}\) . Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль.


\(x∈(\)\(\frac{3}{2}\) \(;\)\(\frac{7}{3}]\)

Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ.


Записываем окончательный ответ.

Ответ: \(x∈(\)\(\frac{3}{2}\) \(;\)\(\frac{7}{3}]\)

Пример . Решить неравенство: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Решение:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Выпишем ОДЗ.

ОДЗ: \(x>0\)

Приступим к решению.

Решение: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем .

\(t=\log_3⁡x\)
\(t^2-t-2>0\)

Раскладываем левую часть неравенства на .

\(D=1+8=9\)
\(t_1= \frac{1+3}{2}=2\)
\(t_2=\frac{1-3}{2}=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)

Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)

Преобразовываем \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac{1}{3}\).

\(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Делаем переход к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется.

\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.


Запишем ответ.

Ответ: \((0; \frac{1}{3})∪(9;∞)\)

При изучении логарифмической функции мы рассматривали в основном неравенства вида
log а х < b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.

Решить неравенство lg (х + 1) ≤ 2 (1).

Решение .

1) Правая часть рассматриваемого неравенства смысл имеет при всех значенияхх, а левая часть – при х + 1 > 0, т.е. при х > -1.

2) Промежуток х > -1 называют областью определения неравенства (1). Логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, следовательно, при условии х + 1 > 0 неравенство (1) выполняется, если х + 1 ≤ 100 (так как 2 = lg 100). Таким образом, неравенство (1) и система неравенств

{х > -1, (2)
{х + 1 ≤ 100,

равносильны, иными словами, множество решений неравенства (1) и системы неравенств (2) одно и то же.

3) Решая систему (2), находим -1 < х ≤ 99.

Ответ. -1 < х ≤ 99.

Решить неравенство log 2 (х – 3) + log 2 (х – 2) ≤ 1 (3).

Решение.

1) Областью определения рассматриваемой логарифмической функции является множество положительных значений аргумента, поэтому левая часть неравенства смысл имеет при х – 3 > 0 и х – 2 > 0.

Следовательно, областью определения этого неравенства является промежуток х > 3.

2) По свойствам логарифма неравенство (3) при х > 3 равносильно неравенству log 2 (х – 3)(х – 2) ≤ log 2 (4).

3) Логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей. Поэтому при х > 3 неравенство (4) выполняется, если (х – 3)(х – 2) ≤ 2.

4) Таким образом, исходное неравенство (3) равносильно системе неравенств

{(х – 3)(х – 2) ≤ 2,
{х > 3.

Решая первое неравенство этой системы, получаем х 2 – 5х + 4 ≤ 0, откуда 1 ≤ х ≤ 4. Совмещая этот отрезок с промежутком х > 3, получаем 3 < х ≤ 4.

Ответ. 3 < х ≤ 4.

Решить неравенство log 1/2 (х 2 + 2х – 8) ≥ -4. (5)

Решение.

1) Область определения неравенства находим из условия х 2 + 2х – 8 > 0.

2) Неравенство (5) можно записать в виде:

log 1/2 (х 2 + 2х – 8) ≥ log 1/2 16.

3) Так как логарифмическая функция с основанием ½ убывающая, то для всех х из всей области определения неравенства получаем:

х 2 + 2х – 8 ≤ 16.

Таким образом, исходное равенство (5) равносильно системе неравенств

{х 2 + 2х – 8 > 0, или {х 2 + 2х – 8 > 0,
{х 2 + 2х – 8 ≤ 16, {х 2 + 2х – 24 ≤ 0.

Решая первое квадратное неравенство, получаем х < -4, х > 2. Решая второе квадратное неравенство, получаем -6 ≤ х ≤ 4. Следовательно, оба неравенства системы выполняются одновременно при -6 ≤ х < -4 и при 2 < х ≤ 4.

Ответ. -6 ≤ х < -4; 2 < х ≤ 4.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Логарифмические неравенства

На предыдущих уроках мы с вами познакомились с логарифмическими уравнениями и теперь знаем, что это такое и как их решать. А сегодняшний урок будет посвящен изучению логарифмических неравенств. Что же это за такие неравенства и в чем разница между решением логарифмического уравнения и неравенства?

Логарифмические неравенства - это неравенства, которые имеют переменную, стоящую под знаком логарифма или в его основании.

Или же, можно еще сказать, что логарифмическое неравенство – это такое неравенство, в котором его неизвестная величина, как и в логарифмическом уравнении, будет стоять под знаком логарифма.

Простейшие логарифмические неравенства имеют такой вид:

где f(x) и g(x) являются некоторыми выражениями, которые зависят от x.

Давайте это рассмотрим на таком примере: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Решение логарифмических неравенств

Перед решением логарифмических неравенств, стоит отметить, что они при решении имеют сходство с показательными неравенствами, а именно:

Во-первых, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, нам также необходимо сравнить основание логарифма с единицей;

Во-вторых, решая логарифмическое неравенство, используя замену переменных, нам необходимо решать неравенства относительно замены до того момента, пока мы не получим простейшее неравенство.

Но это мы с вами рассмотрели сходные моменты решения логарифмических неравенств. А сейчас обратим внимание на довольно таки существенное отличие. Нам с вами известно, что логарифмическая функция обладает ограниченной областью определения, поэтому переходя от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, нужно брать в расчет область допустимых значений (ОДЗ).

То есть, следует учитывать, что решая логарифмическое уравнение мы с вами, можем сначала находить корни уравнения, а потом делать проверку этого решения. А вот решить логарифмическое неравенство так не получится, поскольку переходя от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо будет записывать ОДЗ неравенства.

Вдобавок стоит запомнить, что теория неравенств состоит из действительных чисел, которыми являются положительные и отрицательные числа, а также и число 0.

Например, когда число «а» является положительным, то необходимо использовать такую запись: a >0. В этом случае, как сумма, так и произведение таких этих чисел также будут положительными.

Основным принципом решения неравенства является его замена на более простое неравенство, но главное, чтобы оно было равносильно данному. Дальше, также мы получили неравенство и снова его заменили на то, которое имеет более простой вид и т.д.

Решая неравенства с переменной нужно находить все его решения. Если два неравенства имеют одну переменную х, то такие неравенства равносильны, при условии, что их решения совпадают.

Выполняя задания на решение логарифмических неравенств, необходимо запомнить, что когда a > 1, то логарифмическая функция возрастает, а когда 0 < a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Способы решения логарифмических неравенств

Сейчас рассмотрим некоторые способы, которые имеют место при решении логарифмических неравенств. Для лучшего понимания и усвоения, попытаемся в них разобраться на конкретных примерах.

Нам с вами известно, что простейшее логарифмическое неравенство имеет такой вид:

В этом неравенстве V – является одним из таких знаков неравенства, как: <,>, ≤ или ≥.

Когда основание данного логарифма больше единицы (a>1), осуществляя переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, то в этом варианте знак неравенства сохраняется, и неравенство будет иметь такой вид:

что равносильно такой вот системе:


В случае же, когда основание логарифма больше нуля и меньше единицы (0

Это равносильно данной системе:


Посмотрим еще примеры решения простейших логарифмических неравенств, приведенных на картинке ниже:



Решение примеров

Задание. Давайте попробуем решить такое вот неравенство:


Решение области допустимых значений.


Теперь попробуем умножить его правую часть на:

Смотрим, что у нас получится:



Теперь, давайте с вами перейдем к преобразованию подлогарифмических выражений. В связи с тем, что основание логарифма 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
х > 8.

А из этого следует, что интервал, который мы получили, целиком и полностью принадлежит ОДЗ и является решением такого неравенства.

Вот какой ответ у нас получился:


Что необходимо для решения логарифмических неравенств?

А теперь давайте попробуем проанализировать, что нам необходимо для успешного решения логарифмических неравенств?

Во-первых, сосредоточить все свое внимание и постараться не допускать ошибок при выполнении преобразований, которые даны в этом неравенстве. Также, следует запомнить, что при решении таких неравенств нужно не допускать расширений и сужений ОДЗ неравенства, которые могут привести к потере или приобретению посторонних решений.

Во-вторых, при решении логарифмических неравенств необходимо научиться мыслить логически и понимать разницу между такими понятиями, как система неравенств и совокупность неравенств, чтобы вы без проблем смогли осуществлять отбор решений неравенства, при этом руководствуясь его ОДЗ.

В-третьих, для успешного решения таких неравенств каждый из вас должен отлично знать все свойства элементарных функций и четко понимать их смысл. К таким функциям относятся не только логарифмические, но и рациональные, степенные, тригонометрические и т.д., одним словом, все те, которые вы изучали на протяжении школьного обучения алгебры.

Как видите, изучив тему о логарифмических неравенствах, в решении этих неравенств нет ничего сложного при условии, если вы будете внимательны и настойчивы в достижении поставленных целей. Чтобы в решении неравенств не возникало никаких проблем, нужно как можно больше тренироваться, решая различные задания и при этом запоминать основные способы решения таких неравенств и их систем. При неудачных решениях логарифмических неравенств, следует внимательно проанализировать свои ошибки, чтобы в будущем не возвращаться к ним снова.

Домашнее задание

Для лучшего усвоения темы и закрепления пройденного материала, решите следующие неравенства:


Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) · (k (x ) − 1) ∨ 0

Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми.

Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Если вы забыли ОДЗ логарифма, настоятельно рекомендую повторить - см. «Что такое логарифм ».

Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно:

f (x ) > 0; g (x ) > 0; k (x ) > 0; k (x ) ≠ 1.

Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства - и ответ готов.

Задача. Решите неравенство:

Для начала выпишем ОДЗ логарифма:

Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Получается, что ОДЗ логарифма - все числа, кроме нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Теперь решаем основное неравенство:

Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше». Имеем:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1) < 0;
(9 − x 2) · x 2 < 0;
(3 − x ) · (3 + x ) · x 2 < 0.

Нули этого выражения: x = 3; x = −3; x = 0. Причем x = 0 - корень второй кратности, значит при переходе через него знак функции не меняется. Имеем:

Получаем x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Данное множество полностью содержится в ОДЗ логарифма, значит это и есть ответ.

Преобразование логарифмических неравенств

Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами - см. «Основные свойства логарифмов ». А именно:

  1. Любое число представимо в виде логарифма с заданным основанием;
  2. Сумму и разность логарифмов с одинаковыми основаниями можно заменить одним логарифмом.

Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая:

  1. Найти ОДЗ каждого логарифма, входящего в неравенство;
  2. Свести неравенство к стандартному по формулам сложения и вычитания логарифмов;
  3. Решить полученное неравенство по схеме, приведенной выше.

Задача. Решите неравенство:

Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма:

Решаем методом интервалов. Находим нули числителя:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Затем - нули знаменателя:

x − 1 = 0;
x = 1.

Отмечаем нули и знаки на координатной стреле:

Получаем x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите - можете проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка:

Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их:

log 2 (x − 1) 2 < 2;
log 2 (x − 1) 2 < log 2 2 2 .

Получили стандартное логарифмическое неравенство. Избавляемся от логарифмов по формуле. Поскольку в исходном неравенстве стоит знак «меньше», полученное рациональное выражение тоже должно быть меньше нуля. Имеем:

(f (x ) − g (x )) · (k (x ) − 1) < 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1) < 0;
x 2 − 2x + 1 − 4 < 0;
x 2 − 2x − 3 < 0;
(x − 3)(x + 1) < 0;
x ∈ (−1; 3).

Получили два множества:

  1. ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
  2. Кандидат на ответ: x ∈ (−1; 3).

Осталось пересечь эти множества - получим настоящий ответ:

Нас интересует пересечение множеств, поэтому выбираем интервалы, закрашенные на обоих стрелах. Получаем x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - все точки выколоты.